transformaciones bidimensionales

Introducción.

Una de las mayores virtudes de los gráficos generados por ordenador es la facilidad con se pueden realizar algunas modificaciones sobre las imágenes. Un gerente puede cambiar las escalas de las gráficas de un informe. Un arquitecto puede ver un edificio desde distintos puntos de vista. Un cartógrafo puede cambiar la escala de un mapa. Un animador puede modificar la posición de un personaje. Estos cambios son fáciles de realizar porque la imagen gráfica ha sido codificada en forma de números y almacenada en el interior del ordenador. Los números son susceptibles a las operaciones matemáticas denominadas transformaciones.
Las transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Es un hecho que a veces es más fácil modificar toda la imagen que una porción de ella. Esto supone un complemento muy útil para las técnicas de dibujo manual, donde es normalmente más fácil modificar una pequeña porción del dibujo que crear un dibujo completamente nuevo.
Es este capítulo veremos transformaciones geométricas como el cambio de escala, la traslación y la rotación. Veremos cómo se expresan de una forma sencilla mediante multiplicaciones de matrices. Introduciremos las coordenadas homogéneas con el fin de tratar de una manera uniforme las transformaciones y como anticipo de las transformaciones producidas por la perspectiva en los modelos tridimensionales.

Traslación.

Supongamos que necesitamos realizar un giro alrededor de un punto que no es el origen. Si fuésemos capaces de trasladar toda la imagen de un punto a otro de la pantalla, podríamos realizar este giro moviendo primero la imagen hasta que el centro de rotación coincida con el origen, luego realizamos la rotación y, por último, devolvemos la imagen a su posición original.
Desplazar la imagen recibe el nombre de traslación. Se realiza de una forma sencilla mediante la suma a cada punto de la cantidad que vamos a mover la imagen.
En general, con el fin de trasladar un imagen (Tx, Ty), cada punto (x1, y1) se convierte en uno nuevo (x2, y2) donde
Desafortunadamente, esta forma de describir la traslación no hace uso de matrices, por lo tanto no podría ser combinada con las otras transformaciones mediante una simple multiplicación de matrices. Tal combinación sería deseable; por ejemplo, hemos visto que la rotación alrededor de un punto que no sea el origen puede realizarse mediante una traslación, una rotación u otra traslación. Sería deseable combinar estas tres transformaciones en una sola transformación por motivos de eficacia y elegancia.

Rotación.

Esta transformación goemétrica se usa para mover un objeto o grupo de objetos alrededor de un punto.

Rotar un objeto un ángulo en sentido horario se expresa como:

La matriz de rotación tiene ciertas propiedades:

Decimos que las matrices de rotación son ortonormales.

Teniendo esto en cuenta vemos entonces que la inversa de una matriz ortonormal es su transpuesta.

Escalación.

Es una transformación que permite cambiar el tamaño o la proporción de un objeto o grupo de objetos. Hay escalados proporcionales y no proporcionales.